“全国初中数学联赛”历年真题（1995-2016年）附答案解析

全国数学联赛是一个全国性的数学大赛。它以中国数学会普委会制订的《初中数学竞赛大纲》为准，命题坚持“大众化、普及型、不超纲、不超前”的原则。
　　全国数学联赛第一试着重基础知识和基本技能，题型为选择题6题、填空题4题，共70分。第二试着重分析问题和解决问题的能力，题型为三道解答题，内容分为代数题、几何题、几何代数综合题或杂题，共70分，两试合计共140分。(目前联赛一试满分 100，共8个填空题，每个7分，3个解答题，共44分;二试共四个大题，每个50分，共200分，内容一般为几何、数论、不等式、组合，有可能含有图论。)
　　竞赛对象：在校初中生，采取自愿与学校推荐相结合的办法报名参加。

全国初中数学联合竞赛简介　　奖项名称：全国初中数学联合竞赛
　　创办时间：1984年
　　主办单位：由各省、市、自治区联合举办，轮流做庄

　　竞赛介绍：
　　同时，各地都提出了举行“全国初中数学联赛”的要求。1984年，中国数学会普及工作委员会商定，委托天津市数学会举办一次初中数学邀请赛，有14个省、市、自治区参加，当时条件较简陋，准备时间也较仓促，天津数学会在南开大学数学系和天津师范大学数学系的大力支持下，极其认真负责地把这次活动搞得很成功，为后来举办“全国初中数学联赛”摸索了很多经验。 当年11月，在宁波召开的中国数学会第三次普及工作会议时，一致通过了举办“全国初中数学联赛”的决定，并详细商定了一些具体办法，规定每年四月的第一个星期天举行“全国初中数学联赛”。会上湖北省数学会、山西省数学会、黑龙江省数学会分别主动承担了1985年、1986年、1987年的“全国初中数学联赛”承办单位，从此，“全国初中数学联赛”也形成了制度。

　　“全国初中数学联赛”原来不分一试、二试。为了更好地贯彻“在普及的基础上不断提高”的方针，1989年7月，在济南召开的“数学竞赛命题研讨会”上，各地的代表商定，初中联赛也分两试进行，并对一、二试各种题型的数目，以及评分标准作出明确的规定，使初中联赛的试卷走向规范化。

　　中国数学会所举办的全国高中数学联赛、全国初中数学联赛，以及小学数学奥林匹克，都是群众性的数学课外活动，是大众化、普及型的数学竞赛，目前，每年有12万名学生参加。为了让更多学生都能发挥他们的聪明才智，培养兴趣，充分发掘他们学习上的潜力，调动学习数学的积极性，我们力求让试题能够适合全国多数参赛学生。从1991年起，我们力求降低试题的难度。题目不难，又要有点意思，还要有竞赛气氛，要做到是不容易的。

　　所谓“联赛”，就是各省、市、自治区联合举办，轮流做庄，由各省、市、自治区数学竞赛组织机构具体承办，大家提供试题。

　　为了更好地规范初中数学竞赛的内容、难度，中国数学会制定了“初中数学竞赛大纲”，以“大纲”为准， 命题坚持“大众化、普及型、不超纲、不超前”的原则。
初中数学竞赛大纲

　　数学竞赛对于开发学生智力，开拓视野，促进教学改革，提高教学水平，发现和培养数学人才都有着积极的作用。目前我国中学生数学竞赛日趋规范化和正规化，为了使全国数学竞赛活动健康、持久地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定《初中数学竞赛大纲(修订稿)》以适应当前形势的需要。

　　本大纲是在国家教委制定的九年义务教育制 “初中数学教学大纲”精神的基础上制定的。《教学大纲》在教学目的一栏中指出：“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性。” 具体作法是：“对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能力的培养……，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。

　　《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的要求。除教学大纲所列内容外，本大纲补充列出以下内容。这些课外讲授的内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，处理好普及与提高的关系，这样才能加强基础，不断提高。

　　1、实数

　　十进制整数及表示方法。整除性，被2、3、4、5、8、9、11等数整除的判定。

　　素数和合数，最大公约数与最小公倍数。

　　奇数和偶数，奇偶性分析。

　　带余除法和利用余数分类。

　　完全平方数。

　　因数分解的表示法，约数个数的计算。

　　有理数的表示法，有理数四则运算的封闭性。

　　2、代数式

　　综合除法、余式定理。

　　拆项、添项、配方、待定系数法。

　　部分分式。

　　对称式和轮换对称式。

　　3、恒等式与恒等变形

　　恒等式，恒等变形。

　　整式、分式、根式的恒等变形。

　　恒等式的证明。

　　4、方程和不等式

　　含字母系数的一元一次、二次方程的解法。一元二次方程根的分布。

　　含绝对值的一元一次、二次方程的解法。

　　含字母系数的一元一次不等式的解法，一元一次不等式的解法。

　　含绝对值的一元一次不等式。

　　简单的一次不定方程。

　　列方程(组)解应用题。

　　5、函数

　　y=|ax+b|,y=|ax2+bx+c|及 y=ax2+bx+c的图像和性质。

　　二次函数在给定区间上的最值。简单分式函数的最值，含字母系数的二次函数。

　　6、逻辑推理问题

　　抽屉原则(概念)，分割图形造抽屉、按同余类造抽屉、利用染色造抽屉。

　　简单的组合问题。

　　逻辑推理问题，反证法。

　　简单的极端原理。

　　简单的枚举法。

　　7、几何

　　四种命题及其关系。

　　三角形的不等关系。同一个三角形中的边角不等关系，不同三角形中的边角不等关系。

　　面积及等积变换。

　　三角形的心(内心、外心、垂心、重心)及其性质。